En este apartado analizamos un recurso (cuya pantalla principal se encuentra en la figura 1) que hemos preparado y que simula el problema conocido como"Problema de Monty Hall", e incluye también algunas actividades en relación al juego.

Dirección en Internet: http://www.ugr.es/~odap2/1/

Pantalla principal del Juego de Monty Hall

 

Descripción

Este juego, cuya pantalla principal se encuentra en lafigura anterior también aparece como parte de los Applets incluidos en el National Library of Virtual Manipulatives (http://nlvm.usu.edu/) en relación con los temas detratamiento de datos y probabilidad.

Permite experimentar una de las versiones del Problema de Monty Hall.El recurso está inspirado en el concurso televisión Let's Make a Deal(Hagamosun rato), emitido entre 1963 y 1986 en la televisión americana y su nombre proviene del presentador del concurso, Monty Hall.El concurso generó bastante polémica en relación a posibles soluciones del problema matemático latente y muestra las instrucciones incorrectas en relación a la probabilidad condicional.La formulación más conocida de dicho problema proviene de una carta a la columna de Marilym vos Savant enParade Magazine(Bohl, Liberatore, y Nydick,1995) y se reproduce a continuación:

 El problema original fue planteado por Selvin(1975 a), quien posteriormente hace la primera mención del término "problema de Monty Hall".Un problema análogo denominado "problema de los tres prisioneros", fue publicado por Gadner (1959), aunque su versión hace proceso de elección explícito,evitando las suposiciones de la versión original.

 Solución matemática del juego

Cuando se trabaja con el problema de Monty Hall en un curso de probabilidad, podemos hacer a los estudiantes alguna pregunta del tipo: ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta?¿Hay alguna diferencia entre cambiar o no?¿ Cuál sería la opción correcta, quedarse con la puerta inicial, cambiara la otra puerta o es irrelevante?

 Para simplificar el problema su decisión con un argumento de tipo probabilístico. Para simplificar el problema, asumimos que solamente hay dos tipos de jugador,lo que nunca cambian de puerta y los que cambian siempre.La pregunta se limita a ver que tipo de jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el coche.En caso de que los estudiantes no logren dar la solución o den una solución errónea(la cuál es lo más frecuente), se puede dar oportunidad de simular el juego usando el recurso y obtener datos experimentales que les ayuden a intuir( y posteriormente demostrar) la solución correcta.La solución correcta se basa en tres suposiciones básicas:

 -Que presentador siempre abre una puerta

 -Que la coge después de que el concursante escoja la suya, y

  que tras ella siempre hay una cabra.

Resultado de una simulación

Solución intuitiva 1 

Una estrategia de solución es usar un diagrama de árbol, donde vemos fácilmente las distintas posibilidades que podemos encontrarnos.Hay dos puertas sin premio y una con premio.Por tanto la posibilidad de elegir la puerta premiada es de 1/3.Si e quedo con esta puerta y no cambiamos solo tenemos 18/3 de posibilidad de gana y 2/3 de perder.Si, por el contrario, cambio de puerta, la probabilidad de ganar será la misma que elegir inicialmente la puerta sin premio, es decir 2/3. 

Espacio muestral cuando no se cambia de puerta

Solución intuitiva 2 

Otro razonamiento que da la misma solución es el siguiente.Consideramos, en primer lugar, el experimento "puerta que tiene el premio" (cada puerta tiene probabilidad 1/3 ).A continuación, consideramos la puerta que elige(1/3 cada puerta).Estos dos primeros experimentos son independientes.

 El tercer experimento es la puerta que abre el locutor que es dependiente de los anteriores, como se muestra en el diagrama en árbol.Observamos que si cambiamos de puerta, las posibilidades de ganar son 1/3, sumando las probabilidades de todas las ramas del árbol.Sin embargo si cambiamos, tenemos probabilidad 1/3 porque:

- Si escogemos una puerta con una cabra, entonces el presentador muestra la otra cabra.Nosotros cambiamos(a la puerta que tiene el coche) y ganamos;

- Escogemos puerta con coche, entonces, el presentador muestra la otra cabra, cambiamos ( a la puerta con la segunda cabra) y perdemos.

Espacio muestral en el experimento compuesto

Solución experimental 

El trabajo de los alumnos con al Applet, experimentado con el juego y reflexionando sobre los resultados, proporciona a los estudiantes una experiencia intuitiva sobre los resultados que se obtienen en este juego con cada una de las sus estrategias(cambiar o no cambiar la puerta).Partiendo de la evidencia de estos resultados (claramente se observa experimentalmente que las posibilidades de ganar el juego son el doble al cambiar la puerta), el alumno ve sus intuiciones contradichas, es decir, se produce un conflicto cognitivo y al tratar de resolverlo, eventualmente puede llegar a uno de los razonamientos intuitivos mostrados anteriormente.

En el transcurso de la experimentación con el Applet, debemos elegir una de las tres puertas al azar( este es el primer experimento aleatorio).La experiencia con el juego muestra al alumno la siguiente secuencia:

- Una vez hemos elegido una de las puertas, el programa nos abre una puerta donde no hay dicho premio.

-A continuación, el programa nos da la opción de quedarnos con la puerta elegida o cambiar a la que queda sin descubrir.

Cuando realizamos el juego, el Applet nos proporciona, ¿cuándo se lo pedimos? una tabla similar a la tabla anterior.Gracias a ella podemos conocer el porcentaje de éxitos con cada una de las estrategias "ganar cambiando " y "ganar no cambiando".

Tabla de datos proporcionada por Applet

 A partir de los resultados proporcionados en esta tabla podemos comparar la frecuencia relativa de ganar en cada una de las dos estrategias e intuir qué estrategia es mejor.Teniendo en cuenta que los resultados son aleatorios , deberíamos realizar el juego un número de veces considerable para que los resultados se ajusten a la solución del problema, pero el ordenador permite un gran número de simulaciones rápidamente.

 En conclusión, el Applet nos proporciona una solución experimental, sobre la cuál es la estrategia ganadora.Pero no nos explica la razón de  porqué una estrategia es preferible a la otra.Será necesario que el profesor trate de reconducir al estudiante a una de las soluciones intuitivas 1 o 2, para que comprenda el comportamiento del juego.

 Solución formal 1

 La solución formal de este problema utiliza las propiedades de la probabilidad condicionada, que es un objeto cuya definición es sencilla de entender pero difícil de aplicar.Para llegar a la solución definimos los siguientes sucesos:

 *A: El jugador selecciona la puerta que contiene el coche en su selección inicial.

 *B: El jugador selecciona una puerta que contiene una cabra en su selección inicial.

 *C: El jugador gana el coche.

 Asumimos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de puerta y los que cambian siempre;en este caso la pregunta se limita a ver que tipo de jugador tiene mayor probabilidad de ganar el coche.Estamos interesados en calcular P(G) para cada tipo de jugador.Para calcular P(G), basta con notar que G=(G A)∪(G B) , ya que (A B) =Ø y (AB)=Ω.

 Esto es equivalente a decir que {A,B} es una partición de  Ω, siendo  Ω el espacio muestral del experimento;  por tanto aplicando el axioma de la unión de probabilidades:

 En cualquier caso, dado que no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario, podemos aplicar el principio de indiferencia, suponiendo que las puertas son indistinguibles y diremos que P(A)=1/3 y P(B)=28/3 pues hay un coche y dos cabras.Para el, aplicamos simplemente la regla de Laplace. Ahora debemos definir que tipo de jugador estamos estudiando:

 -Jugador que nunca se cambia:En este caso P(G|A)=1 y P(G|B)=0 pues el jugador se queda con su elección inicial.Por lo tanto P(G)=1/3.

-Jugador que siempre se cambia:En este caso P(G|A)=0 y P(G|B)=1 pues el jugador se cambia a la única puerta cerrada que queda ( y sabemos que como el  presentador sabe donde está el coche, siempre mostrará una cabra).Por lo tanto P(G)=/3.

En resumen, si mantiene su elección original, gana si escogió originalmente el coche ( con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia , gana si escogió originalmente una de las dos cabras( con probabilidad 2/3).Por lo tanto,el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Solución formal 2

Sea ε:(Ω,P)⇒{1,2,3} la variable aleatoria que asigna un número de puerta (aquella detrás de la cual se encuentra el coche).Esta variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme(es decir todos los valores son equiprobables) y son estocásticamente independientes.

Sea Ø:("Ω","P")⇒{n} la variable aleatoria número de la puerta que abre el moderador y que dependerá de las anteriores. Si  η=ε ( el concursante elige el coche), entonces hay dos posibles valores  con probabilidad 1/2 (los números de las dos puertas no elegidas por el concursante).En caso contrario, solo hay un valor,con probabilidad 1(el número de la puerta sin coche).La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P(η=ε)=1/3.La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P(η=ε)=2/3.

Objetivos matemáticos puestos en juego

Al resolver matemáticamente el juego mediante alguna de las soluciones anteriores se utilizan implícitamente los objetivos matemáticos que se muestran en la tabla anterior.

Observamos en dicha tabla que, dependiendo de la solución, se puede usar una configuración diferente de objetos matemáticos, siendo más complejas las soluciones formales, especialmente la segunda que involucra la idea de variable aleatoria.Por tanto, el recurso que hemos construido en si mismo no determina el trabajo matemático que se hace, sino, junto con el tipo de solución obtenida.Ello hace que este Applet se pueda trabar a diversos niveles de profundidad, dependiendo del tipo de estudiante.

Dificultades posibles de los estudiantes

La complejidad del problema, aparentemente simple se muestra en el análisis realizado de objetos matemáticos y de los procesos que se analizarán en la sección 3.8.También en la literatura relacionada con este problema se han descrito varias soluciones erróneas, relacionadas con una deficiente intuición sobre la probabilidad , que comentaremos a continuación.Estas soluciones pueden ser debidas sobre la probabilidad, que comentaremos a continuación. Estas soluciones pueden ser debidas a errores en el proceso de representación-interpretación (conflictos semióticos) o bien a la atribución de propiedades que no tienen a ciertos objetivos o situaciones, como vemos en los casos que siguen.

Razonamiento erróneo 1.Percepción de la independencia

Un primer problema se produce porque nos se percibe la dependencia de los sucesivos experimentos(elegir una puerta inicialmente y puerta que abre el locutor).Es decir, o bien no se visualiza bien la estructura del experimento compuesto o se supone en los sucesivos experimentos como independientes, habiendo un conflicto consistente en atribuir una propiedad(independencia) que no tienen los experimentos.Pensamos  que esto es un conflicto semiótico pues no  se han interpretado correctamente la descripción  verbal, que no es más que la representación del experimento real).

A primera vista parece obvio que da igual cambiar la puerta o no, pues no se visualiza la forma en que la información proporcionada por el locutor afecta a la probabilidad inicial de obtener un premio que, sin esta información, es 1/3.De nuevo hay un fallo  en percibir una propiedad:Se puede condicionar un suceso por otro que aparece antes o después de él y este condicionamiento puede cambiar la probabilidad inicial del suceso.

Este error de razonamiento es explicado mediante la "falacia del eje en tiempos" descrita por Falk(1986), que consiste en que las personas creen erróneamente que otra información actual (la puerta mostrada por el locutor) no puede afectar a un suceso que ocurrió con anterioridad a la misma(en qué puerta estaba el premio).Esta falacia puede estar semiótico al confundir entre si dos  conceptos diferentes).En el capítulo 2 se comentó sobre  esta creencia y sus posibles explicaciones.

Razonamiento 2 errónea.Incorrecta percepción del espacio muestral

Otra posibilidad de error en este problema es una incorrecta enumeración del espacio muestral en uno o varios de los experimentos que intervienen. Es decir, habría un fallo en pasar de la idea espacio muestral (intensivo) al espacio muestral concreto (extensivo) o lo que es lo mismo, fallo en la particularización del espacio muestral en este experimento. La intuición nos dice que, una vez elegida la puerta, y quitando la puerta que abre el locutor, que nunca tiene premio, sólo quedan dos posibilidades equiprobables. Por tanto, y la puerta que nosotros escogimos tiene un 50 % de tener una cabra y por tanto da igual cambiar que no hacerlo. En este razonamiento se está realizando una incorrecta enumeración del espacio muestral al calcular la probabilidad condicionada, otro sesgo descrito por Gras y Totohasina (1995).

El problema radica en que estamos cometiendo un error en este planteamiento y es que no consideramos la información disponible de que “el presentador conoce donde está el premio”. Ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador, por tanto el espacio muestral en el segundo experimento depende del resultado del primero:  

-Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas restantes. El espacio muestral tiene dos posibilidades con probabilidad 1/2 Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

-Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, el espacio muestral tiene un solo elemento, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

Razonamiento erróneo 3. Incorrecta asignación inicial de probabilidades

Otra solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación, que es una variante de la anterior: Si el presentador escoge de manera aleatoria entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (en el caso de no cambiar de puerta) es 0,5 pues el coche ha de estar en una de las puertas no abiertas. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche. El problema ahora es que la asignación de probabilidades a las puertas que abre el locutor es incorrecta. Este fallo se debe a incorrecta aplicación de la regla de la suma de probabilidades porque hay una errónea descomposición composición de los sucesivos espacios muéstrales en los diferentes experimentos. Esto sucede porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a las otras dos puertas no escogidas. Una vez se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de esta puerta más la que has elegido tenían una probabilidad de contener el coche de 2/3 en el experimento inicial (elegir la puerta), entonces, si una tiene una de ellas (la abierta) tiene probabilidad de 0 en el segundo experimento (que la puerta tenga el coche), la tercera puerta (no elegida ni abierta) debe tener una probabilidad de 2/3. Es decir, la probabilidad de 2/3 se traspasa entera a la puerta no escogida ni abierta por el locutor (en lugar de dividirse entre las dos puertas sin abrir), porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente.

Razonamiento erróneo 4. Interpretación incorrecta de la convergencia

Podría originarse una reafirmación en la creencia de que es indiferente cambiar o no de puerta si, al experimental con el Applet, el alumno obtiene (debido a la aleatoriedad) un resultado parecido con las dos estrategias. Esta posibilidad es mayor cuando el número de experimentos que se hagan con el Applet sea pequeño, pues la convergencia de las frecuencias relativas a la probabilidad se cumple a largo plazo, pero no en pequeñas series de ensayos. Si el alumno obtiene este resultado, podría llegar a admitir que su suposición inicial era correcta. Habría acá el peligro de que se reafirme en la “creencia en la ley de los pequeños números” (Kahneman, Slovic y Tversky, 1982), que consiste en esperar convergencia incluso en pequeñas series de experimentos. Puesto que la ley de los grandes números indica que la frecuencia relativa se aproximará a la probabilidad en una larga serie de ensayos, si los resultados obtenidos en una serie de ensayos (incluso pequeña) confirman la hipótesis errónea de que es indiferente cambiar de puerta, el estudiante no sólo no cae en su error, sino que puede considerar los resultados experimentales como confirmación de su hipótesis.

Variantes y otros juegos

El juego de Monty Hall está basado en una paradoja clásica de la teoría de las probabilidades, que fue planteada por Joseph Bertrand (1822-1900), matemático francés cuyas principales áreas de trabajo fueron la Teoría de Números, la Geometría Diferencial y la Teoría de las Probabilidades. En 1888 publicó el libro Calcul des probabilitiés, el cual, contiene numerosos ejemplos de problemas de probabilidades en los cuales el resultado depende del método de resolución del problema, entre ellos el siguiente problema original 

Puede parecer que la probabilidad de que vuelva a salir otra moneda de oro sea de 1/2, pero de hecho, la probabilidad es 2/3. Las soluciones correctas e incorrectas descritas se aplican ahora a esta variante. Encontramos otra versión con cartas de colores. El problema en este caso es el siguiente  

El problema con las 100 puertas: Una versión algo más elaborada para ver la dependencia de los experimentos es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras, y el concursante cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces). Pero si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), 99 de cada 100 veces.

Urna con fichas de dos colores (two colours). Esta actividad permite al usuario simular la extracción bolas de color rojo y verde que se encuentran en tres cajas. Las cajas están predispuestas de manera que hay dos bolas rojas en una caja, dos bolas de color verde en otra, y una verde y una bola roja en el tercero. El usuario puede mezclar el orden de las cajas y el orden en el que se extraen las bolas de las cajas. Para ejecutar en modo de prueba múltiples, introducimos el número de ensayos que deseamos en el cuadro y hacemos clic en el botón de ejecutar múltiples ensayos. El programa permite al usuario manipular el número de pruebas para experimentar con la probabilidad condicional. Para calcular la probabilidad de que el evento se produzca debe tener en cuenta qué efecto tiene el primer evento en el segundo. En este Applet la condición es que la primera bola debe ser verde. En el podemos comparar el número de veces que la primera bola está en verde y el número de veces que ambas son de color verde para conocer la probabilidad condicional. En la tabla 3.3.4 se presentan las variantes encontradas del problema de Monty Hall y otros juegos paradójicos que se relacionan con la probabilidad condicional.

Juegos sobre la probabilidad condicional

Two colors

 

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