EXPLORACIÓN DE CONCEPTOS

 Incluimos en este apartado los recursos que pueden servir para visualizar algunos de los objetos matemáticos que se relacionan con la probabilidad condicional, o algunas de las propiedades o teoremas relacionados con los mismos. Dichos recursos permiten al estudiante variar diferentes datos, tales como el número de sucesos o las probabilidades de los mismos y ver el efecto de dicho cambio sobre otros sucesos y probabilidades. A continuación describimos algunos recursos en esta categoría.

Exploración de las operaciones con sucesos y sus probabilidades

  En primer lugar analizamos un recurso (cuya pantalla principal se muestra en la figura siguiente) que permite explorar las operaciones entre dos sucesos. Dirección en Internet:

http://www.stat.tamu.edu/~west/Applets/Venn1.html

Pantalla del Conditional ProbabilityApplet

 

 

Descripción

 El recurso muestra un diagrama de rectángulo con una partición del espacio muestral en un suceso A y su contrario no A y otro suceso B y su contrario. Las probabilidades de A y B y de sus contrarios están fijadas, mientras que las de las operaciones binarias con estos cuatro sucesos van a depender de su situación relativa en el espacio muestral. Pinchando con el ratón, se puede también colorear diferentes sucesos, A,B,  A,B,  A∩B , A∩B, A∪B  y  A∪B

La  posición relativa de los sucesos A y B se pueden modificar moviendo el cursor, visualizando las probabilidades P(A∩B), P( A∩B), P( A∪B), P( A∪B).Este programa calcula automáticamente las probabilidades condicionales P(A /B ) y P(A / B) , aunque no muestra cómo se hace el cálculo sino tan sólo el resultado.

Un primer objetivo es que el alumno perciba el significado de la intersección, la unión y los complementarios y de cómo cambian las probabilidades según la posición relativa de los sucesos. También permite observar la diferencia entre P(A/B) y P(B/A), ya que muchos estudiantes confunden estas dos probabilidades o las consideran iguales, según Einhorn y Hogarth (1986). Es decir muchos estudiantes no discriminan adecuadamente entre las dos direcciones de la probabilidad condicional P(A/B) y P(B/A), error que Falk (1986) denomina falacia de la condicional transpuesta.  

 Otra posible aplicación sería comprobar que independencia no es lo mismo que mutua exclusividad. Moviendo los sucesos A y B hasta que no tengan intersección común (es decir sean mutuamente excluyentes) se observa claramente que tanto la probabilidad condicional P (A / B)  como la de la intersección P(A∩B), son nulas aunque el producto de las probabilidades de los sucesos A y B no lo sea.Por tanto se cumple la definición de independencia.

 También se puede trabajar el error denominado falacia de la conjunción (Tversky y Kahneman, 1982b) o creencia de que es más probable la intersección de dos sucesos que la de uno de ellos por separado o la de su unión. Los estudiantes pueden experimentar que la intersección siempre tiene una probabilidad igual o menor que la de cualquiera de los sucesos.

Análisis matemático del recurso 

El recurso es básicamente una visualización de las diferentes operaciones que se pueden formar con dos sucesos, y sus respectivas probabilidades. A partir de los sucesos ,A, B,  y   , con P(A),P(B),P( ) y P( B) fijos, el Applet nos muestra directamente las siguientes propiedades:

 

Objetos matemáticos puestos en juego 

Un resumen de los objetos matemáticos y significados implícitos en el recurso se presenta en la Tabla "Objetos matemáticos implícitos en el recurso"

Dificultades posibles de los estudiantes 

 Una de las principales dificultades que pueden encontrar los estudiantes es la interpretación del lenguaje del Applet. En la columna de la izquierda aparecen diferentes operaciones con sucesos bajo la palabra “event” y las notaciones de las operaciones con sucesos, aunque intuitivas son correctas. Sin embargo, en la columna derecha sólo aparece mención a P(event), pero luego en cada fila no vuelve a aparecer la notación de probabilidad. Es por ello que los estudiantes podrían considerar todas las probabilidades listadas como probabilidades simples (en lugar de referirse a la probabilidad de la unión, intersección o contrario).

La notación coloquial para los sucesos intersección y la probabilidad condicional puede también ocasionar el error pues Einhorn y Hogarth (1986) sugieren que los enunciados que usan la conjunción “y” pueden llevar a confundir la probabilidad conjunta y la probabilidad condicional 

 Por otro lado, como no se puede cambiar el tamaño relativo de los sucesos A y B, se puede interpretar que la probabilidad solo depende de la posición relativa de los sucesos, aunque en realidad también dependería del tamaño de los sucesos en relación al espacio muestral.

Objetos matemáticos implícitos en el recurso

 

Variantes y otros recursos exploratorios

 En la figura " Card test Applet  " mostramos un recurso que puede servir para explorar la idea de independencia. Los estudiantes deben imaginar una baraja de cartas que contienen tarjetas de color rojo y negro y hacer predicciones sobre la ocurrencia de diferentes sucesos. El porcentaje de tarjetas rojas puede ser modificado. Se trata de hacer concienciar a los estudiantes de que la probabilidad de cada suceso no varía en función de los resultados obtenidos.

 Se les debe alentar a jugar el juego de varias maneras. En primer lugar, hacemos un ejercicio en el que la carta adivinada es la roja De esta manera se puede estimar la proporción de tarjetas rojas encubiertas. El mismo ejercicio puede ser realizado por adivinar el porcentaje de cartas de color negro. Al final del ejercicio, los estudiantes deben ser animados a reflexionar sobre la idea de independencia y sobre la existencia de sesgos tales como la falacia del jugador. También se puede hacer observar la estabilización de las frecuencias relativas a la larga, pero hacer notar las fluctuaciones en las series cortas de ensayos.

                   Card test Applet                                                  Conditional probability Applet  

 El recurso de la figura "Conditional probability Applet " consta de un cuadrado de seis por seis que representa las 36 posibilidades a la hora de tirar 2 dados de seis caras y nos permite investigar cómo se comportan las probabilidades condicionales. Hay 2 listas desplegables en la parte superior de la pantalla. Podemos hacer una elección de estas listas para ver los diferentes sucesos que se presentan en el Applet y decidir cual es el suceso condicionante. Cuando se haya elegido el suceso de cada lista, algunas de las celdas del cuadrado se colorearan de rojo o amarillo. Los cuadrados de color representan el número de combinaciones de los dados que satisfagan la condición B (la segunda condición de la derecha de la lista desplegable). 

De estas celdas de color, el rojo representa las combinaciones, que también cumplen la primera condición (A). 

Recursos para visualización de la probabilidad condicional y otros objetos 

 Existen dos métodos para calcular P ( A/B ) , uno de ellos implica contar los cuadrados de colores, el otro utiliza una fórmula. El Applet nos proporciona métodos para ver cómo se relacionan entre sí. Si pulsamos "Reverse", se intercambian las declaraciones A y B. Con lo que debemos detectar rápidamente que P(A / B) no es, en general, igual a P(A /B ) . Finalmente, en la tabla "Recursos para visualización de la probabilidad condicional y otros objetos" presentamos las direcciones de estos y otros recursos de exploración.

 

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