Según Fischbein (1975), el diagrama en árbol facilita la resolución de problemas de probabilidad, aunque algunos autores han mostrado que los alumnos tienen dificultades en construir un diagrama en árbol adecuado al problema. En el Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile encontramos una ayuda para la construcción de estos diagramas, que mostramos en la Figura "Pantalla principal del recurso para construcción de diagramas en árbol ".

Dirección en internet:  

http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/ma34a/libro/chapter4/Tree/Tree.html 

Pantalla principal del recurso para construcción de diagramas en árbol

Descripción

Los gráficos de árbol son uno de los recursos más útiles para visualizar tanto situaciones de combinatoria como situaciones probabilísticas. En la terminología de Fischbein (1975) pertenecen a los "modelos esquemáticos" y presentan importantes características intuitivas. Fischbein comparte con Bruner la hipótesis de que una estructura puede manifestarse de diferentes formas: enactiva, icónica y simbólica sin cambiar, por ello, sus características esenciales. El uso de métodos adecuados de representación facilita y acelera el tránsito hacia  la comprensión de un concepto. Entre las representaciones gráficas destaca el diagrama en árbol al que Fischbein considera un modelo generativo en cuanto sugiere y facilita una generalización iterativa (experimentos sucesivos con sus sucesos) generalización constructiva (experimento compuesto a partir del simple), ayudando a desarrollar el razonamiento recursivo. El diagramas de árbol según Fischein da a los conceptos un significado intuitivo que, por una parte, ayuda a su comprensión algebraica y, por otra, le va a dar un sentido a la fórmula de resolución. Ofrecen una representación de la estructura de la situación lo que contribuye a la inmediatez de la comprensión y a la búsqueda de la solución del problema. A pesar de esta importancia, Pesci (1994) demostró que los estudiantes tenían dificultades para construir diagramas de árbol adecuado para representar situaciones problemáticas y, así, el mismo gráfico es la causa de muchos errores.

Bayes Tree está pensado para ayudar en esta tarea. La pantalla presenta un diagrama de árbol con dos ramas, cada una de las cuales tiene dos bifurcaciones, por lo cual representa el espacio muestral en un experimento compuesto, donde cada experimento simple tiene dos sucesos.

El Applet presenta unas casillas donde se pueden introducir las probabilidades a priori P(A) y las probabilidades condicionales P(C/A) y P(C/B). Una vez introducidos los datos, se presiona el botón "go" y el programa calcula las probabilidades conjuntas P(A∩C)=P(A)P(C\A) y P(A∩D)=P(A)P(D\A), etc., visualizándolas al final de cada rama del árbol. El Applet también incluye el árbol inverso que permite calcular las probabilidades condicionales inversas P(A/C), P(B/C), P (A/D. P(B/D)). Por tanto, puede ser útil para visualizar la solución de problemas de Bayes en caso de sólo dos sucesos en la partición del espacio muestral.

Análisis matemático del recurso 

El recurso resume básicamente el teorema de Bayes y las propiedades de la probabilidad condicionada.

-Teorema de Bayes:

-Cálculo de la probabilidad condicional a partir de la intersección:

-Cálculo de la probabilidad de la intersección a partir de la condicional (variante) 

-Cálculo de la probabilidad simple a partir de la intersección y de la condicional (variante) 

Objetos matemáticos puestos en juego 

El análisis de este recurso muestra los siguientes objetos matemáticos implícitos: 

Objetos matemáticos implícitos en el recurso 

Dificultades posibles de los estudiantes

La complejidad del problema radica en la falta de claridad del Applet, ya que no queda claro que probabilidad calcula. Los errores que pueden cometer los estudiantes a la hora de interpretar el Applet van desde identificar a y b como dos sucesos que no tienen nada en común (siendo uno el complementario del otro) o creer que el Applet representa cuatro sucesos distintos (siendo en realidad dos y sus complementarios). Otro problema que se pueden dar a la hora de interpretar el diagrama es que en ningún momento aparece que significa ninguno de los valores que se calculan cuando se ingresan los resultados. Lo que lleva que se confunda por ejemplo P(c) con P(c/a).  

Variantes

 En la figura "Tree Diagram Apple", se presenta conjuntamente el diagrama en árbol y tabla de doble entrada, que también es un recurso útil para resolver problemas de probabilidad, aunque Totohasina indicó que resalta mejor la intersección de sucesos que la probabilidad condicional. Escribimos los números en el interior de la tabla. Como se ve, el marginal de fila y columna de los totales se actualizan continuamente. Hacemos clic en el botón de calcular para el cálculo de las probabilidades y aparecerán en su lugar dentro del diagrama de árbol. Tiene la ventaja de presentar simultáneamente datos en frecuencias absolutas y en probabilidades por lo que según Martignon y Wassner (2002) facilitaría la resolución de los problemas.

                 Tree Diagram Applet                                                              Building a probability tree 

 Se han encontrado otros ejemplos, tales como el presentado en la figura "  Building a probability tree" que crea automáticamente diagramas en árbol que pueden ayudar a la interpretación de cómo se distribuyen los sucesos. Este recurso tiene la ventaja de permitir más de dos ramas en cada bifurcación del árbol, pero presenta el inconveniente que una vez que se subdivide una rama en cierto número de partes las ramas del mismo nivel se dividen igualmente Otros ejemplos los reproducimos en la tabla siguiente

 

Nombre                                                                           

Dirección

Bayes' Theorem Demonstration              

http://onlinestatbook.com/simulations/bayes/bayes.html

 

Bayes Tree       

 Building probability tres  

http://www.bolderstats.com/gallery/prob/bayesTree.html

 http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/ProbabilityTree.html

Libro de Probabilidades Universidad     de Chile

http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/ma34a/libro/chapter4/Tree/Tree.html

 

Probability tres                                           

http://www.geocadabra.nl/geocadabra_english_probabilitytree.htm

 

Tree Applet                                                  

http://www.stat.sc.edu/~west/Applets/tree.html

 

Leave your comments

0
Extension Restriction Allowed file extensions: bmp, csv, doc, gif, ico, jpg, jpeg, odg, odp, ods, odt, pdf, png, ppt, rar, txt, xcf, xls, zip 0 / 3
terms and condition.
  • No comments found