En este apartado describiremos algunos recursos que presentan lecciones completas o parciales sobre las medidas de tendencia central, las cuales incluyen un desarrollo teórico o proponen actividades para desarrollar con los estudiantes.

Medidas de posición o localización

Este recurso contiene un apoyo teórico para el estudio de las medidas de tendencia central, en la Figura "Capturas de medidas posición o localización" mostramos una captura de algunas de las imágenes que se presentan en este recurso. En el siguiente enlace se puede tener acceso al recurso: http://www.hacienda.go.cr/cifh/sidovih/cursos/material_de_apoyo-f-c-cifh/1materialdeapoyocursoscifh/4estad%C3%ADsticabasica/estadisticadescriptiva-lillianaorellana.pdf

Figura . Capturas de medidas posición o localización

 

Descripción

Este recurso es un material de apoyo para la clase de estadística descriptiva, el tema de medidas de tendencia central es desarrollado en la sección  llamada Medidas de posición o localización.

 

El primer concepto que aparece en esta sección es la media aritmética, se mencionan una serie de características correspondientes a esta medida y luego se procede a definir matemáticamente el concepto, además se ofrece un ejemplo de la aplicación de este concepto. Posteriormente, se presenta la definición de media poblacional y cálculo de la media con datos agrupados. Para finalizar el estudio de este concepto se presenta un resumen de algunas de las características y propiedades de la media. En la Figura 3.17. se muestran algunas de las imágenes utilizadas para ilustrar las propiedades de la media.

Figura. Capturas sobre las propiedades de la media

El siguiente concepto presentado es la mediana, se empieza definiendo el concepto e indicado cómo se calcula esta medida en una muestra de de ?? observaciones, seguido se presenta un ejemplo en el cual se contempla el caso cuando ?? es par o impar. Luego de estos ejemplos, se presenta la definición de la mediana poblacional y se finaliza presentando algunas de las propiedades de la mediana, en la Figura "propiedades de la mediana". se muestran algunas de las imágenes utilizadas para ejemplificar estas propiedades.

Figura . Capturas de propiedades de la mediana

Esta sección finaliza presentando un cuadro comparativo entre la media y la mediana, en este se presentan las ventajas y desventajas de utilizar cada una de estas medidas.

Análisis matemático del recurso

El recurso presenta los conceptos media y mediana de una forma teórica en la cual se exponen las definiciones matemáticas de ambas medidas y se presentan algunas de sus propiedades.

1. Promedio o media aritmética: Si tenemos una muestra de ?? observaciones y denotadas por ??1,??2,…,???? definimos la media muestral ??¯ del siguiente modo:

2. Media poblacional: Si se dispone de la información de una variable ?? para las ?? unidades de análisis, la media poblacional se define de la siguiente manera:

3. Media de datos agrupados: Supongamos que se dispone de dos conjuntos de datos en los que se conoce la media y el número de datos de cada uno de ellos (  ??1¯¯¯,??1 y ??2¯¯¯,??2 ). Calculamos la media de los ??1+??2 como el promedio pesado:

4. Mediana muestral: Procedimiento del cálculo de la mediana de una muestra de ?? observaciones:

- Ordenamos los datos de menor a mayor.

- La mediana es el dato que ocupa la posición (??+1)2 en la lista ordenada:

 Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición central.

 Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los datos centrales.

5. Mediana poblacional: Es el valor de la variable por debajo del cual se encuentra a lo sumo el 50% de la población y por encima del cual se encuentra a lo sumo el 50% de la población. Se denota como ??~.

Objetos matemáticos puestos en juego

En la siguiente tabla incluimos el análisis de objetos matemáticos y significados implícitos en el recurso.

Posibles dificultades de los estudiantes

Uno de los aspectos mencionados en el recurso es la influencia de los valores atípicos sobre la media, entender esta influencia puede generar un conflicto en algunos estudiantes, ya que varios estudios (Batanero, Godino y Navas, 1997; Batanero y Fortuny, 2004; Garrett y García, 2008; Mayen, 2009; Delson y Mugabe, 2013) sugieren que entender y reconocer los valores atípicos puede ser complicado y puede representar una dificultad en el estudio de este tema.

También, el recurso incluye el procedimiento que debe seguirse cuando se trabaja con una cantidad de datos par e impar para el cálculo de la mediana, esto podría significar una dificultad para algunos estudiantes, ya que según Schuyten (1991) y Cobo y Batanero (2000) comprender que existen dos algoritmos para el cálculo de una misma medida representa una dificultad para algunos estudiantes.

El lenguaje matemático que es utilizado en los algoritmos de cálculo, puede provocar un conflicto semiótico en los estudiantes si estos no comprenden el significado de cada símbolo utilizado, además, al hablarse de dos medias, muestral y poblacional, puede ser que los estudiantes tengan dificultades en la comprensión de ambos conceptos, por lo que el docente debe estar consciente de esto y reforzar los conceptos.

Idoneidad didáctica

En este apartado describimos y valoramos resumidamente cada una de las componentes que conforman la idoneidad didáctica.

- Idoneidad epistémica: Este recurso podría tener una idoneidad epistémica en el aprendizaje de los conceptos de media y mediana muestral y poblacional cuando se trabaje con datos no agrupados.

- Idoneidad cognitiva: Las situaciones y conceptos planteados en este recurso tienen suficiente idoneidad en cursos de educación secundaria, ya que en estos niveles se estudian los conceptos de media y mediana con datos no agrupados, las situaciones que se muestran en el recurso refuerzan el estudio de la parte conceptual y la aplicación y comprensión del algoritmo de cálculo de la media y mediana, además, el recurso muestra algunas de las propiedades que tienen estas medidas, esto puede ayudar a tener una mejor comprensión conceptual de estas medidas.

- Idoneidad interaccional: Esta idoneidad va a depender de la forma en que el docente organice el trabajo en clase. El recurso contiene una fuerte parte teórica para trabajar estos conceptos, sin embargo, contiene varios ejemplos interesantes que pueden ser trabajados en conjunto con los estudiantes.

- Idoneidad mediacional: Para utilizar el recurso en el aula se necesita un ordenador y un proyector para que todos los estudiantes puedan tener acceso al recurso. La idoneidad aumentaría si se tiene acceso a un laboratorio de informática donde los estudiantes puedan tener un acceso más cercano al libro, o inclusive el profesor puede realizar impresiones del recurso y facilitarlo a sus alumnos.

- Idoneidad afectiva: Los ejemplos brindados en este recurso propician el interés y la motivación de los estudiantes, ya que se exponen características de la media y mediana que muchas veces no son estudiadas en los libros de matemáticas de secundaria.

- Idoneidad ecológica: Este recurso permite introducir los conceptos de media muestral y poblacional y media ponderada, mediana muestral y poblacional, los cuales son temas que aparecen en los currículos de educación secundaria y bachillerato. Este recurso puede servir como base para el desarrollo de una guía didáctica para la enseñanza de estos temas.

Variantes

En la Figura "Capturas sobre las medidas de centralización en el recurso" mostramos algunas de las capturas de un recurso que presenta lecciones virtuales sobre el estudio de las medidas de tendencia central. En el recurso se estudian la media, moda, cuartiles y mediana, entre otros conceptos de estadística. En el apartado de medidas de centralización y posición el primer concepto que se explica es la media, se ofrece la definición de esta medida y varios ejemplos en los que se explica cómo realizar su cálculo para datos no agrupados y para datos agrupados; seguido se presenta la moda, se muestra su definición y dos ejemplos sencillos sobre encontrar la moda con datos no agrupados y un ejemplo con una explicación más extensa sobre el cálculo de la moda en datos agrupados; por último, se presentan los conceptos de mediana y cuartiles y se ofrecen una serie de ejercicios interactivos en los cuales se puede manipular el recurso.

Figura . Capturas sobre las medidas de centralización en el recurso

 

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